Mathematical Quantization

Contents

1 Quantum Mechanics 1
1.1 Classical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 States and events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Composite systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Quantum computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Hilbert Spaces 19
2.1 Definitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Orthonormal bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Duals and direct sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Quantum logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
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Contents More:

3 Operators 45
3.1 Unitaries and projections . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Continuous functional calculus . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Borel functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Spectral measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 The bounded spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Unbounded operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 The unbounded spectral theorem . . . . . . . . . . . . . 66
3.8 Stone's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 The Quantum Plane 73
4.1 Position and momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 The tracial representation . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Bargmann-Segal space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Quantum complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 C*-algebras 91
5.1 The algebras C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Topologies from functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Abelian C*-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 The quantum plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Quantum tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6 The GNS construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 Von Neumann Algebras 125
6.1 The algebras l1 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 The algebras L1 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3 Trace class operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 The algebras B(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.5 Von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.6 The quantum plane and tori . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7 Quantum Field Theory 147
7.1 Fock space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 CCR algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3 Relativistic particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Flat spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.5 Curved spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8 Operator Spaces 167
8.1 The spaces V (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2 Matrix norms and convexity . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.4 Matrix-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.5 Operator systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9 Hilbert modules 191
9.1 Continuous Hilbert bundles . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.2 Hilbert L1-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.3 Hilbert C*-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.4 Hilbert W*-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.5 Crossed products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.6 Hilbert -bimodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10 Lipschitz algebras 219
10.1 The algebras Lip0(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.2 Measurable metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.3 The derivation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.5 Quantum Markov semigroups . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11 Quantum Groups 249
11.1 Finite dimensional C*-algebras . . . . . . . . . . . . . . 249
11.2 Finite quantum groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.3 Compact quantum groups . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.4 Haar measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
11.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
References 265

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